爐石傳說(shuō)-數(shù)據(jù)大佬:模型下的最優(yōu)無(wú)限火球任務(wù)法卡組

  大佬UbpaX用數(shù)據(jù)為我們解析最優(yōu)的無(wú)限火球任務(wù)法卡組，卡組在文章最后。

  一. 模型

  卡組 deck：30張，相對(duì)順序不發(fā)生改變

  額外法術(shù)：除寶典外套牌之外的法術(shù)(或者隨從)，如魔典，雕文，共鳴，鬼隱巫師等

  條件1：至少1個(gè)巫師學(xué)徒，1個(gè)大法師，模擬幻影熔巖鏡像和另一個(gè)巫師學(xué)徒總數(shù)不少于 3

  條件2：( 1個(gè)寶典和至少3個(gè)額外法術(shù)) 或 2個(gè)寶典

  最后一個(gè)key牌的位置 lastKeyIdx：能滿(mǎn)足條件 1 和條件 2的牌庫(kù)的前 n 張牌，n 中的最小值為 lastKeyIdx

  過(guò)牌：能讓你從牌庫(kù)抽牌的各種機(jī)制。這個(gè)是核心概念，下面重點(diǎn)說(shuō)明。

  1. 簡(jiǎn)單的抽牌和濾牌：大哥，奧數(shù)智慧，工程師學(xué)徒，秘法學(xué)家等

  2. 茍活牌：茍活牌實(shí)際上并不抽牌，但茍活的一回合能讓你多抽一張牌，如冰箱，冰環(huán)，暴風(fēng)雪，末日等

  3. 任務(wù)獎(jiǎng)勵(lì)：做完任務(wù)的一回合能抽 1 張牌

  4. 硬抗：30點(diǎn)血量能換來(lái)的回合數(shù)，只考慮前期，后期情況一律認(rèn)為無(wú)法硬抗，默認(rèn)是前期是前 4 回合，即前1-4回合可以不依賴(lài)任何茍活牌活下去

  5. 起手：先手3張后手4張，平均 3.5 張

  這里我一開(kāi)始分析時(shí)陷入了一個(gè)誤區(qū)，就是不知道如何統(tǒng)一 過(guò)牌，茍活和每回合固定的1張抽牌

  我的方法是：把一切每回合固定過(guò)牌都認(rèn)為是自己爭(zhēng)取來(lái)的，包括硬抗的4張，茍活牌帶來(lái)的 n 張，任務(wù)獎(jiǎng)勵(lì)帶來(lái)的 1 張，起手的3.5張

  過(guò)牌的分級(jí)：顯然在上述過(guò)牌的概念里邊，不同的過(guò)牌的地位顯然是不同的，具體分析很有必要

  1. 固定過(guò)牌：8.5張 = 硬抗 4 張 + 起手 3.5 張 + 任務(wù)獎(jiǎng)勵(lì) 1 張

  2. 穩(wěn)定過(guò)2張牌：奧數(shù)智慧，大哥

  3. 穩(wěn)定過(guò)1張牌：冰箱，工程師學(xué)徒，戰(zhàn)利品，血法，侏儒發(fā)明家等

  4. 期望過(guò)2/3牌：秘法學(xué)家(經(jīng)過(guò)計(jì)算，2秘法3奧秘期望過(guò)大約 0.65張/秘法學(xué)家，1秘法2奧秘期望過(guò) 0.67張/秘法學(xué)家 )

  5. 1級(jí)衰退過(guò)牌：冰環(huán)，暴風(fēng)雪(前期摸到基本能爭(zhēng)取1回合，越到后期能爭(zhēng)取的回合越少)

  6. 2級(jí)衰退過(guò)牌：末日，冰甲，冰錐(前期摸到基本能爭(zhēng)取1回合，越到后期能爭(zhēng)取的回合越少，相比1級(jí)衰退更嚴(yán)重，雖然末日的機(jī)制有些許不同但期望效果類(lèi)似)

  在第 lastKeyIdx 張能過(guò)的牌數(shù)：將牌庫(kù)中第 lastKeyIdx 張前的牌稱(chēng)為 手牌

  能過(guò)的牌數(shù) = 固定過(guò)牌 + 手牌的穩(wěn)定(期望)過(guò) 2/3, 1, 2牌 + 衰退函數(shù)(手牌的1級(jí)衰退過(guò)牌)+ 2/3 * 衰退函數(shù)(手牌的2級(jí)衰退過(guò)牌)

  (衰退函數(shù)呈 S 型，依經(jīng)驗(yàn)而定，2級(jí)衰退的系數(shù) 2/3 依經(jīng)驗(yàn)而定)

  能獲勝：一開(kāi)始定義為在第 lastKeyIdx 張能過(guò)的牌數(shù) 不少于 lastKeyIdx，而實(shí)際情況是有一定概率發(fā)揮出較好的過(guò)牌水平(成功達(dá)成末日冰環(huán)，雕文找到過(guò)牌單解aoe等)，因此將牌數(shù) 少于 lastKeyIdx的情況也考慮在內(nèi)

  前者100%能獲勝，后者獲勝概率依經(jīng)驗(yàn)定義為 e^( 牌差/2)，具體曲線如下

  根據(jù)經(jīng)驗(yàn)至少得含有的牌(共25張)

  二. 模擬

  !!!勝率越接近實(shí)際說(shuō)明模型越能反應(yīng)實(shí)際情況，勝率越高說(shuō)明在相對(duì)意義下在此模型內(nèi)卡組越好!!!

  用數(shù)字代表卡牌

  0：任務(wù)

  1：巫師學(xué)徒

  2：熔巖鏡像

  3：模擬幻影

  4：額外法術(shù)

  5：寶典

  6：大法師

  7：穩(wěn)定過(guò)2張牌的牌

  8：穩(wěn)定過(guò)1張牌的牌

  9：期望過(guò)2/3張牌的牌(秘法學(xué)家)

  10：1級(jí)衰退過(guò)牌

  11：2級(jí)衰退過(guò)牌

  模擬過(guò)程如下

  1. 卡組就表示為有11個(gè)元素的數(shù)組，如 [2, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 8, 1, 4, 2]，第 i 個(gè)元素的值代表數(shù)字 i 的卡牌的張數(shù)

  2. 那么一個(gè)牌庫(kù)樣本就表示為有先后順序的有30個(gè)元素的數(shù)組，如 [0, 10, 5, 10, 11, 8, 8, 1, 8, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 8, 8, 6, 2, 1, 2, 10, 8, 5, 7, 4, 7, 8, 10, 11]，任務(wù)必定在第一張

  3. 從牌庫(kù)樣本可以計(jì)算得到 lastKeyIdx，上例中其為 26

  4. 從而可算出在第 lastKeyIdx 張能過(guò)的牌數(shù)，上例中其為 26.1224

  5. 從而可判斷出能否獲勝(或者是獲勝的概率)，上例中說(shuō)明定義層面上 100% 獲勝

  6. 重復(fù)2-5步驟，記錄其中獲勝的次數(shù)，從而可計(jì)算出模擬的平均獲勝概率

  三. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

  根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，先明確卡組中各元素最小值，為 [ 2, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 1, 3, 2]，就是上面所提到的必須卡

  1. 首先來(lái)測(cè)試我自己的卡組，為 [2, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 4, 2, 4, 4]，經(jīng)過(guò)模擬，得出的結(jié)果意外地好，就是49%，從數(shù)值上看很合理，說(shuō)明所建模型能較好地反應(yīng)實(shí)際的卡組勝率情況

  2. 其次探究額外法術(shù) 3 張，4張，5張給卡組帶來(lái)的變化，以我的卡組為標(biāo)桿進(jìn)行轉(zhuǎn)變

  [2, 2, 1, 1, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 3] : 48.0% // 1 個(gè)過(guò)牌(冰錐) 換 額外法術(shù)

  [2, 2, 1, 1, 5, 2, 4, 4, 2, 4, 2] : 44.2% // 2 個(gè)過(guò)牌(冰錐,冰甲換共鳴) 換 額外法術(shù)

  [2, 2, 1, 1, 5, 2, 4, 4, 2, 3, 3] : 41.3% // 2 個(gè)過(guò)牌(暴風(fēng)雪冰錐) 換 額外法術(shù)

  [2, 2, 1, 1, 6, 2, 4, 4, 2, 3, 2] : 37.3% // 3 個(gè)過(guò)牌(暴風(fēng)雪冰錐,冰甲換共鳴) 換 額外法術(shù)

  從以上可以看出，用較低劣的過(guò)牌去換取更多的額外法術(shù)實(shí)際上降低了勝率，因此得出結(jié)論：過(guò)牌對(duì)卡組的影響大于額外法術(shù)

  這讓人感到很意外，畢竟額外法術(shù)越少，那抽齊6張法術(shù)的難度會(huì)上升很多，但勝率反而提高了

  3. 嘗試將 1張額外法術(shù)(魔典)換成穩(wěn)定1張過(guò)牌

  [2, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 2, 4, 4] : 55.6% 1 法術(shù)(魔典) 換 穩(wěn)定1張過(guò)牌

  勝率竟然意外的提高了。少了一張額外法術(shù)，意味著必須要抽齊2張寶典才能做完，這使得寶典成為了必須摸到的 key 牌。

  4. 總結(jié) 2 和 3 的情況

  為了 [定性] 地解釋以上2個(gè)情形，我特地模擬求出了 lastKeyIdx 的期望值，結(jié)果為 25，這意味著大部分情況(大概為60%)需要摸25張，此時(shí)摸到雙寶典概率大概為 69.5% ≈ (25/30)*(25/30)，當(dāng)情況為 26, 27, 28, 29 時(shí)，摸雙寶典的概率會(huì)更接近 1

  這也就是說(shuō) 額外法術(shù)與過(guò)牌的權(quán)衡中，過(guò)牌帶來(lái)的受益會(huì)更高(一方面提高了摸key牌的概率，另一方面也提高了摸寶典的概率)

  5. 考慮盡可能大的過(guò)牌量

  [2, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 8, 1, 4, 2] : 77.2% 魔典, 冰錐, 冰甲, 秘法學(xué)家 換 過(guò)牌

  根據(jù) 4 的結(jié)論指導(dǎo)，通過(guò)盡量增加過(guò)牌量，使得模擬下的勝率更高了，當(dāng)然數(shù)值可能有點(diǎn)脫離實(shí)際了，但其數(shù)值在相對(duì)意義上是有價(jià)值的

  6. 增加一張模擬幻影，以實(shí)驗(yàn) 5 的卡組為標(biāo)桿

  [2, 2, 2, 1, 2, 2, 4, 7, 1, 4, 2] : 66.5% 1 過(guò)牌 換 模擬幻影

  多一張模擬幻影，雖說(shuō)集齊 key 牌更加容易，但也降低了卡組過(guò)牌的流暢性，相比 5 來(lái)說(shuō)勝率下降是意料之內(nèi)的

  四. 總結(jié)

  1. 經(jīng)驗(yàn)上需要至少保證3張額外法術(shù)并不是必要的，只靠雙寶典并不會(huì)明顯影響達(dá)成條件1和條件2的概率

  2. 期望上看一場(chǎng)對(duì)局需要過(guò)上25張牌

  3. 將一張過(guò)牌換成 多一張的模擬幻影 并不能帶來(lái)穩(wěn)定性的提升，實(shí)際上降低了過(guò)牌流暢性

  4. 1個(gè)秘法學(xué)家2個(gè)奧秘和2個(gè)秘法學(xué)家3個(gè)奧秘從期望上來(lái)說(shuō)過(guò)牌效率是幾乎一樣的

  5. 過(guò)牌對(duì)卡組的勝率(模型下)是顯著的

  五. 模型下最優(yōu)卡組

  依據(jù)實(shí)驗(yàn) 5 對(duì)卡組進(jìn)行構(gòu)筑，樣例如下

  卡組代碼：AAECAf0EBrQC7QW4CMHBAtDBArnRAgyKAcAB+wGcAskDqwTLBOYE+AeSrAKYxALaxQIA